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漫画:有趣的 “切蛋糕“ 问题

蠢萌的小灰 CSDN 2019-05-25

—————  第二天  —————

举个例子:

我们有5块蛋糕,

蛋糕的大小分别是 5,17,25,3,15

我们有7位顾客,

他们的饭量分别是 2,5,7,9,12,14,20

(每个蛋糕大小和顾客食量都是小于1000的整数,蛋糕和顾客的数量不超过1000)

在分发蛋糕时,

有一个特殊的规则:蛋糕可分不可合

什么意思呢?

一块较大的蛋糕,

可以切分成多个小块,

用来满足多个胃口较小的顾客:

但是,若干块较小的蛋糕,不允许合并成一块大蛋糕,

用来满足一个胃口较大的顾客:


最后的问题是:给定蛋糕大小的集合cakes,

给定顾客饭量的集合mouths,

如何计算出这些蛋糕可以满足的最大顾客数量?

比如:输入cakes集合 {2,9};

输入mouths集合 {5,4, 2,8}

正确返回:3



小灰的思路:

为了让更多的顾客吃饱,

肯定要优先满足食量小的顾客,

所以小灰决定使用贪心算法

首先,把蛋糕和顾客从小到大进行排序:

按照上面的例子,排序结果如下:

接下来,让每一个蛋糕和顾客按照从左到右的顺序匹配。

如果蛋糕大于顾客饭量,则切分蛋糕;

如果蛋糕小于顾客饭量,则丢弃该蛋糕。

第1块蛋糕大小是3,第1个顾客饭量是2,

于是把蛋糕切分成2+1,满足顾客。

剩下的1大小蛋糕无法满足下一位顾客,丢弃掉。

第2块蛋糕大小是5,第2个顾客饭量是5,刚好满足顾客。

第3块蛋糕大小是15,第3个顾客饭量是7,

于是把蛋糕切分成7+8,满足顾客。

剩下的8大小蛋糕无法满足下一位顾客,丢弃掉。

第4块蛋糕大小是17,第4个顾客饭量是9,

于是把蛋糕切分成9+8,满足顾客。

剩下的8大小蛋糕无法满足下一位顾客,丢弃掉。

第5块蛋糕大小是25,第5个顾客饭量是12,

于是把蛋糕切分成12+13,满足顾客。

剩下的13大小蛋糕无法满足下一位顾客,丢弃掉。

这样一来,所有蛋糕都用完了,

由贪心算法得出结论,

最大能满足的顾客数量是5。




例子当中,

3的蛋糕满足2的顾客,

5的蛋糕满足5的顾客,

15的蛋糕满足12的顾客,

17的蛋糕满足7和9的顾客,

25的蛋糕满足14的顾客。

显然,面试官随意给出的吃法,满足了6个顾客。



————————————







这句话听起来有点绕,什么意思呢?

我们可以看看下面这张图:




其实道理很简单,

由于顾客的饭量是从小到大排序的,

优先满足饭量小的顾客,

才能尽量满足更多的人。

因此,在记录顾客饭量的数组中,

必定存在一段从最左侧开始的连续元素,

符合当前蛋糕所能满足的最多顾客组合。

这样一来,

我们的题目就从寻找最大满足顾客数量

转化成了寻找顾客饭量有序数组中的最大满足临界点:




让我们先来回顾一下二分查找的思路:

1.选择中间元素,下标mid = (0 + 6)/2 = 3  ,因此中间元素是9:

2.判断9>5,选择元素9左侧部分的中间元素,

下标mid = (0+2)/2 = 1,因此中间元素是5:


3.判断5=5,查找结束。

但是,切蛋糕的问题比普通的二分查找要复杂得多,

因为我们要寻找的顾客饭量数组临界元素,

并不是简单地判断元素是否相等,

而是要验证给定的蛋糕能否满足临界元素之前的所有顾客。

如何来实现呢?

我们仍旧使用刚才的例子,演示一下详细过程:



第一步,寻找顾客数组的中间元素。

在这里,中间元素是9:



第二步,验证饭量从2到9的顾客能否满足。

子步骤1,遍历蛋糕数组,

寻找大于9的蛋糕,最终寻找到元素15。



子步骤2,饭量9的顾客吃掉15的蛋糕,还剩6大小。



子步骤3,重新遍历蛋糕数组,

寻找大于7的蛋糕,最终寻找到元素17。



子步骤4,饭量7的顾客吃掉17的蛋糕,还剩10大小。



子步骤5,重新遍历蛋糕数组,

寻找大于5的蛋糕,最终寻找到元素5。



子步骤6,饭量5的顾客吃掉5的蛋糕,还剩0大小。



子步骤7,重新遍历蛋糕数组,

寻找大于2的蛋糕,最终寻找到元素3。



子步骤8,饭量2的顾客吃掉3的蛋糕,还剩1大小。



到此为止,从2到9的所有顾客都被满足了,验证成功。

接下来,我们需要引入更多顾客,

从而试探出蛋糕满足的顾客上限。

第三步,重新寻找顾客数组的中间元素。

由于第二步验证成功,

所以我们要在元素9右侧的区域,

重新寻找中间元素。

显然,这个中间元素是14:



第四步,验证饭量从2到14的顾客能否满足。

这一步和第二步的思路是相同的,这里就不详细阐述了。

最终的验证结果是,从2到14的顾客能够满足。

接下来,我们还要引入更多顾客,

试探出蛋糕满足的顾客上限。

第五步,重新寻找顾客数组的中间元素。

由于第四步验证成功,

所以我们要在元素14右侧的区域,重新寻找中间元素。

显然,这个中间元素也就是唯一的元素20:



第六步,验证饭量从2到20的顾客能否满足。

这一步和第二步、第四步的思路是相同的,

这里就不详细阐述了。

最终的验证结果是,

从2到20的顾客不能够满足。

经过以上步骤,我们找到了最大满足顾客的临界点14,

从2到14共有6个顾客,

所以给定蛋糕最大能满足的顾客数量是6



  1. //剩余蛋糕数量

  2. static int leftCakes[];

  3. //蛋糕总量(不是数量,而是大小之和)

  4. static int totalCake = 0;

  5. //浪费蛋糕量

  6. static int lostCake = 0;


  7. static boolean canFeed(int[] mouths, int monthIndex, int sum)

  8. {

  9. if(monthIndex<=0) {

  10. //递归边界

  11. return true;

  12. }

  13. //如果 蛋糕总量-浪费蛋糕量 小于当前的需求量,直接返回false,即无法满足

  14. if(totalCake - lostCake < sum) {

  15. return false;

  16. }

  17. //从小到大遍历蛋糕

  18. for(int i=0;i<leftCakes.length; i++) {

  19. if (leftCakes[i] >= mouths[monthIndex]) {

  20. //找到并吃掉匹配的蛋糕

  21. leftCakes[i] -= mouths[monthIndex];

  22. //剩余蛋糕小于最小的需求,变为浪费蛋糕

  23. if (leftCakes[i] < mouths[1]){

  24. lostCake += leftCakes[i];

  25. }

  26. //继续递归,试图满足mid下标之前的需求

  27. if (canFeed(mouths, monthIndex-1, sum)) {

  28. return true;

  29. }

  30. //无法满足需求,蛋糕状态回滚

  31. if (leftCakes[i] < mouths[1]) {

  32. lostCake -= leftCakes[i];

  33. }

  34. leftCakes[i] += mouths[monthIndex];

  35. }

  36. }

  37. return false;

  38. }


  39. public static int findMaxFeed(int[] cakes, int[] mouths){

  40. //蛋糕升序排列,并把0下标空出

  41. int[] cakesTemp = Arrays.copyOf(cakes, cakes.length+1);

  42. Arrays.sort(cakesTemp);

  43. for(int cake: cakesTemp){

  44. totalCake += cake;

  45. }

  46. //顾客胃口升序排列,并把0下标空出

  47. int[] mouthsTemp = Arrays.copyOf(mouths, mouths.length+1);

  48. Arrays.sort(mouthsTemp);

  49. leftCakes = new int[cakes.length+1];

  50. //需求之和(下标0的元素是0个人的需求之和,下标1的元素是第1个人的需求之和,下标2的元素是第1,2个人的需求之和.....)

  51. int[] sum = new int[mouths.length+1];

  52. for(int i=1;i<=mouths.length;i++) {

  53. sum[i] = sum[i - 1] + mouthsTemp[i];

  54. }

  55. //left和right用于计算二分查找的“中点”

  56. int left=1,right=mouths.length;

  57. //如果胃口总量大于蛋糕总量,right指针左移

  58. while(sum[right]> totalCake){

  59. right--;

  60. }

  61. //中位指针,用于做二分查找

  62. int mid=((left+right)>>1);

  63. while(left<=right)

  64. {

  65. //重置剩余蛋糕数组

  66. leftCakes = Arrays.copyOf(cakesTemp, cakesTemp.length);

  67. //重置浪费蛋糕量

  68. lostCake =0;

  69. //递归寻找满足需求的临界点

  70. if(canFeed(mouthsTemp, mid, sum[mid])){

  71. left=mid+1;

  72. } else {

  73. right = mid - 1;

  74. }

  75. mid=((left+right)>>1);

  76. }

  77. //最终找到的是刚好满足的临界点

  78. return mid;

  79. }


  80. public static void main(String[] args) {

  81. int[] cakes = new int[]{3,5,15,17,25};

  82. int[] mouths = new int[]{2,5,7,9,12,14,20};


  83. int maxFeed = findMaxFeed(cakes, mouths);

  84. System.out.println("最大满足顾客数:" + maxFeed);

  85. }


这段代码比较复杂,

需要说明几点:

1.主流程方法findMaxFeed,执行各种初始化,控制二分查找流程。

2.方法canFeed,用于检验某一位置之前的顾客是否能被给定蛋糕满足。

3.数组leftCakes,用于临时存储剩余的蛋糕大小,每次重新设置中间下标时,这个数组需要被重置。



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