人的思维不仅能探索宇宙的浩瀚，甚至能穿越宇宙的多维度。通过类比思考，我们能在思维中构建出四维世界的图景。虽然我们生活在三维空间中，理解四维空间仍是一大挑战，就像我们难以向居住在二维平面的生物解释三维空间的真实面貌一样。—— 科学羊

大家好，我是科学羊 🐑，这里是数学篇第五季第01篇，今天我们仔细谈谈四维空间以及其背后的数学原理。

01 一个四维空间的思想实验

我们生活在三维世界中，对四维空间的理解确实充满挑战。就像向一个生活在二维平面的人解释三维世界一样困难。

先问自己一个问题，你能不能把三维世界清楚的讲给二维世界的人听，然后再来思考四维空间。

我们先做个思想实验：现在，假设你的朋友是来自二维世界的，对“高度”、“体积”和“立体”概念都不了解。

你想给他描述一个三维世界的立方体，如何解释呢？

最简单的方法就是从立方体的展开图开始解释：如下图展示了立方体的展开图，你可以将这样形状的纸板剪下并折叠成一个立方体。

我们就说，将这张纸按照边线进行折叠，如下图，

折叠好之后的纸，如下图，

注意，这个立方体是由于透视作用，所以它们看上去好像变“斜”了。

大家注意，这张折叠好的正方体，你一定要站在你二维朋友的角度去给他解释。你相信你朋友一定会说：“这个图形我看不懂！，为什么说，你说它是个正方体，但是我看到的明明是2个正方形、4个梯形...”

你给他解释说：“上面5个正方形（其中有4个由于处于第三维度而变了形）的“内部”已经形成 “空间”了，可以往里面放东西了。要想做成一个封闭的正方体，只需要把剩下的那个正方形合上去就行了。

“刚才最后要合上去的那个正方形到哪儿去了？”

“就在最上面呀！”

“哦！原理如此，也就是说，两边那么一圈那4个“正方形”是超越了第二维，因此在第三维空间中一部分离我们近，一部分离我们远，于是看上去就是由大到小渐变过去的，就像是变形了。”

对！你理解得很好！

也就是说：“那个“空间”啊，就是大正方形擦着4个变形正方形在第三维度上向远处的小正方形移动所产生的“轨迹”？

“没错”

怪不得我们说n维立方体有个顶点呢，其实道理很简单。只需要把维立方体复制一份，然后把对应的顶点相连就可以了。这就是维立方体在第维发生位移的结果，新增的那条边就是点的轨迹。

理解了这些，你就可以再给你的朋友解释下，三维世界的“旋转”是个多么好玩的东西啦。

我想按照上面的方法，你通俗给他解释，一定是没问题的。

也许，等你清楚的给他解释完之后，你会思考，是不是我可以用同样的方法去思考四维世界呢？

话不多说，你马上用立方体进行思想实验，也许，四维立方体是由8个大小相同的三维立方体组成的。

然后你开始思想折叠。

粘合出来的四维盒子，还差一个盖子没有盖。这些看起来像棱台的东西其实都是根正苗红的正方体，只是由于它们在四维空间中位置不同，发生了透视。

许多人可能在其他地方已经见识过这种图形。

图中展示了一个大一个小的标准立方体，它们代表在第四维度中不同位置但都面向我们的“三维面”。

图中的其它形状虽然看起来是棱台，实际上都是由于透视效果导致的正方体变形。

四维立方体可以视为三维立方体在时间中的运动轨迹，因此绘制一个四维立方体非常简单：只需画出两个三维立方体，并将它们的相对应顶点连接起来。

正下图所示，观察四维立方体旋转时，你会发现内部的小立方体穿透一面跑到了外部，并且随后会变成最外层的大立方体。

这一过程与二维空间扩展到三维空间的过程颇有相似之处。细致观察和思考，你会发现更多的类比之处。

好了，思想实验做完了，我们来看看四维空间的数学知识吧！

02 如何理解四维世界？

在物理学和数学中，一般可将个数的序列理解为一个维空间中的位置，即当时，所有这样的位置的集合就叫做四维空间。四维空间和我们所处的三维空间不同，因为多了一个维度。

如何理解呢？

我们先看一个比喻：

1. 一维空间：想象一条直线。在这条直线上，你只能向左或向右移动。这就像是只有一个方向的世界。

2. 二维空间：现在想象一个平面，比如一张纸。在这张纸上，你就是一只蚂蚁🐜，你不仅可以向左向右移动，还可以向上向下移动。在这个平面上，你可以画出方形、圆形等多种图形。

3. 三维空间：这就是我们生活的世界。除了向左向右、向上向下，你还可以向前或向后移动。在三维空间中，你可以体验立体的物体，比如球、立方体等。

4. 四维空间：这个概念对我们来说有点抽象，因为我们无法直接体验它。

但你可以这样想象：如果有一个新的方向，不是左右、上下、前后，而是另一个完全不同的方向。我们可以称这个方向为“嘭”。

在四维空间中，物体可以朝这个新的“嘭”方向移动或变化。

如果你还不理解没关系，还有一个方法——投影法，我们可以使用阴影理解更高维度。

你看，三维物体在二维世界中的阴影是二维的。比如，当太阳照射到立方体上时，它在地面上的阴影可能看起来像一个多边形。

同理，我们可以想象一个四维物体在三维空间中的“阴影”将是一个我们熟悉的三维形状。

这个“阴影”可能会以我们难以理解的方式变化，因为它是由一个我们看不见的四维形状投射下来的。

所以，我们可以猜测，在四维空间中，我们可以把它想象成一个四维立方体，或者超立方体，是一个在四维空间中存在的形状，它是三维立方体的推广。

如果我们将一个正方形（二维）推广到三维，我们得到的是一个立方体。

同理，将立方体推广到四维，我们就得到了超立方体。

那如何理解超立方体的“阴影”？

当超立方体在四维空间中转动或者从某个特定角度投影到三维空间时，它的三维“阴影”可能看起来非常奇特。这个“阴影”可能会显示为：

多个相连的立方体：超立方体的三维阴影可能看起来像是几个大小不一、有时部分内嵌的立方体。这些立方体可能以一种普通三维空间中不可能自然出现的方式相互连接。

变化的结构：随着超立方体在四维空间中的移动或转动，它的三维阴影会以复杂的方式变化，比如立方体的边缘可能会伸长或缩短，立方体的角度可能会改变。

03 数学世界的四维方法

四维空间的数学表达通常依赖于向量和坐标系统来描述。在四维空间中，每个点可以通过四个坐标来表示，这些坐标通常写作

这里的是向量在四个维度上的分量。

另外，四维空间中的变换，比如旋转、缩放和平移，可以用 4x4 矩阵来表示。

例如，一个简单的四维缩放矩阵可能看起来像这样：

这里的 (s) 是缩放因子。

在更高级的数学，如流形理论和拓扑学中，四维空间可以通过更复杂的结构来探索，例如通过考虑四维流形的属性和特征。

在物理学，尤其是相对论里，四维时空是通过三个空间维度和一个时间维度来表示的。

在这种情况下，时间通常被视为第四维，并且与空间维度结合，形成了所谓的闵可夫斯基空间。在闵可夫斯基空间中，一个事件的位置和时间可以表示为：

其中 是光速， 是时间，而 表示空间坐标。这种表示允许物理学家使用类似于空间几何的数学结构来描述时间和空间的相互关系。

通过这些方法，四维空间不仅在数学上有丰富的表达方式，而且在物理学和工程学中也有广泛的应用。

好，今天就先这样啦，本篇仅献给热爱数学的你～